题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图（1），四边形ABCD中，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF-BE，请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；
（2）如图（2），如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；
（3）如图（3），如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）。

答案

解：（1）证明：在DF上截取DM=BE；
∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°，
∴△ABE≌△ADM，
∴AE=AM，∠EAB=∠DAM，
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM=45°，即∠MAF=45°=∠EAF，
又∵AE=AM，AF=AF，
∴△AEF≌△AMF，得EF=FM，
∵DF=DM+FM，
∴DF=BE+EF，即EF=DF-BE；（2）EF=DF-BE；（3）EF=DF-BE；
证明：在DF上截取DM=BE，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，
∴AD=AB，
∴△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，∠DAM=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，
∴∠DAM+∠BAF=∠BAD，
∴∠MAF=∠BAD，
∵AF是△EAF与△MAF的公共边，
∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF，
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE；（4）△CEF的周长为15。