题目

题型：专项题难度：来源：

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点。
（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；
（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S。若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，则AS= _________ ，OR= _________ 。

答案

解：（1）∵ABCD为菱形，
∴AD∥BC。
∴∠OBP=∠ODQ，
∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
在△BOP和△DOQ中，
∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ，
∴△BOP≌△DOQ（ASA），
∴OP=OQ。
（2）如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T，

∵ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AB=AD=4，∠ABT=60°，
∴AT=ABsin60°=，
TB=ABcos60°=2，
∵BS=10，
∴TS=TB+BS=12，
∴AS=。
∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB。
∴，
则，
∴，
∵AS=，
∴OS=AS=。
同理可得△ARD∽△SRC。
∴，
则，
∴，
∴。
∴OR=OS﹣RS=。