题目

题型：同步题难度：来源：

如图（l），O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F"OE" （如图（2））
（1）探究AE"与BF"的数量关系，并给予证明；   
（2）当α=30°时，求证：△AOE"为直角三角形。

答案

解：（1）AE′=BF′，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OB=OD，
∴OE=OF
∵△E′OF′是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，
∴OE′=OF′，
∵∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠E′OA=90°-∠F′OA=∠F′OB，
在△E′OA和△F′OB中，，
∴△E′OA≌△F′OB（SAS）
∴AE′=BF′；
（2）取OE′中点G，连接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E′OA=90°-α=60°，
∵OE′=2OA，
∴OA=OG，
∴∠E′OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE′，
∴∠GAE′=∠GE1A=30°，
∴∠E′AO=90°，
∴△AOE′为直角三角形。