题目

题型：期末题难度：来源：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm.在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm.点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合．如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，ts时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S。
(1)当t=4时，求S的值； 
(2)当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

答案

解：(1)当t=4时，
点B与点Q重合，点D与点P重合，重合部分为△BCD.
证明如下：如答案图(a)所示，
过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DE⊥BC于点E，
则AG∥DE且AG=DE.
所以四边形ACED为矩形，
从而AD=GE.
在梯形AB-CD中，
因为AB=AD=DC=2 cm，BC=4 cm，
所以CE=BC=1cm.
所以在Rt△CDE中，
cm.
在等腰△PQR中，过点P作PH⊥QR于点H
因为∠QPR=120°，QR=6cm，
所以∠PQR=30°．
在Rt△PQH中，
因为，
所以PH=QHtan30°=cm.
所以DE=PH.
即点P在直线AD上．
因为EC+CH=1+3=4=DP，
所以当t=4时，
点D与点P重合，
如答案图(b)所示．
所以
(2)①当4≤t<6时，
如答案图(c)所示．
方法：因为QC=tcm，BC=4 cm，QR=6 cm，
所以QB=（t-4）cm，
CR=(6-t) cm.
设PQ与AB交于点M，PR与CD交于点N．
在△BQM中，因为∠BQM=30°，
又可求得∠ABC=60°，
所以∠BMQ=30°，
所以BM=QB=（t-4）(cm)．
过点M作MS⊥BC于点S．
在Rt△BSM中，
MS=BM·sin60°=cm．
所以．
同理可得，．
所以．
所以当t=5时，

②当6≤t≤10时，
如答案图(d)所示．
方法：因为QC=tcm，BC=4cm，QR=6 cm，
所以RC=（t-6）cm，
BR=(10-t)cm.
设PR与AB交于点F，
在△BFR中，因为∠FBR=60°，∠FRB= 30°，
所以△BFR为直角三角形．
所以,RF=．
所以
因为6≤t≤10，
所以当t=6时，
综上可知，当t=5时，