题目

题型：福建省期末题难度：来源：

一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ACB的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
（1）如图①，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为（    ）；
（2）如图①中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图②，此时重叠部分的面积为（    ）
（3）如果将△MNK绕顶点M旋转到不同于的位置图①、图②，如图③，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

答案

解：（1）∵AM=MC=AC=a，∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为a²．
（2）∵叠部分是正方形∴边长为a，面积为a²．
（3）猜想：重叠部分的面积为a²．理由如下：过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a
∴MH=MG=a
又∵∠HME=∠GMF
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MGMH=a ×a=a²∴阴影部分的面积是 a²．