题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

答案

（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
          ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90^。
          ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD
           ∴∠BAE=∠DAG
          ∴△ BAE≌△DAG ；
（2）∠FCN=45^。
理由是：作FH⊥MN于H
∵∠AEF=∠ABE=90^。          ∴∠BAE +∠AEB=90^。，∠FEH+∠AEB=90^。
∴∠FEH=∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90^。
∴△EFH≌△ABE 
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH
∵∠FHC=90^。，∴∠FCH=45^。 ；
（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，
理由是：作FH⊥MN于H 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90^。
结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG
又∵G在射线CD上 ∠GDA=∠EHF=∠EBA=90^。
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE 
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，

  ∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=