题目

题型：期末题难度：来源：

含30°角的直角三角板 ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E。
（1）求证：△ACM≌△A′CN；
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明。

答案

解：（1）∵△ABC经旋转和翻折得到△A′B′C，
∴∠A=∠A′AC=A′C ∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠MCN =∠A′CB′-∠MCN，
即∠ACM=∠A′CN
在△ACM和△A′CN中，
∠A=∠A′，AC=A′C，∠ACM=∠A′CN，
∴△ACM≌△A′CN（A.S.A）；
（2）当∠α=30°时，ME=MB′，
理由如下：
∵△ABC经旋转和翻折得到△A′B′C，
∴∠B′=∠B=30°，
∵∠α=30°，
∴∠MCN=30°
∴∠B′ME=∠MCN+∠B=30°+30°=60°，
∴∠MEB′=180°-∠B′ME-∠B′=180°-60°-30°=90°，
∴在Rt△MEB′中有ME=MB′，
∴当∠α=30°时，ME=MB′。