题目

题型：不详难度：来源：

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小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁，求S₁的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A₁C、B₁A、C₁B，因为A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此继续推理，从而解决了这个问题．

（1）直接写出S₁=______（用含字母a的式子表示）．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S_△APE与S_△BPF的比值．

答案

（1）S₁=19a；

（2）过点C作CG⊥BE于点G，

设S_△BPF=x，S_△APE=y，
∵S△BPC=

1

2

BP•CG=70；S△PCE=

1

2

PE•CG=35，
∴

S△BPC

S△PCE

=

1 2 BP•CG

1 2 PE•CG

=

70

35

=2．
∴

BP

EP

=2，即BP=2EP．
同理，

S△APB

S△APE

=

BP

PE

．
∴S_△APB=2S_△APF．
∴x+84=2y．①
∵

S△APB

S△BPD

=

AP

PD

=

x+84

40

，

S△APC

S△PCD

=

AP

PD

=

y+35

30

，
∴

x+84

40

=

y+35

30

．②
由①②，得

x=56 y=70

，
∴S_△ABC=315．

（3）设S_△BPF=m，S_△APE=n，如图所示．

依题意，得S_△APF=S_△APC=m，S_△BPC=S_△BPF=m．
∴S_△PCE=m-n．
∵

S△APB

S△APE

=

S△BPC

S△PCE

=

BP

PE

，
∴

2m

n

=

m

m-n

．
∴2m（m-n）=mn，
∵m≠0，
∴2m-2n=n．
∴

n

m

=

2

3

．
∴

S△APE

S△BPF

=

2

3

．