题目

题型：同步题难度：来源：

已知抛物线  
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；   
（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点.并与它的对称轴交于点D.    
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；   
②平移直线CD.交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

答案

解：(1)
∵不管m为何实数，总有(m-2)²≥0，∴△= (m-2)²+3>0，
∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点.   
 (2)∵抛物线的对称轴为直线 x=3.
∴m=3，抛物线的解析式为

所以 A的坐标为(1.0)、B 的坐标为(7，6),
∵x=3 时 y= x-1 = 3-1 = 2，∴D 的坐标为(3，2)，
设抛物线的对称轴与 x轴的交点为 E. 则 E的坐标为 (3.0)，所以 AE= DE= CE=2，    
①假设抛物线上存在一点 P 使得四边形ACPD是正方形. 则 AP、CD 互相垂直平分且相等，于是P点坐标为(5，0). 故抛物线上存在一点 P(5，0)使得四边形ACPD是正方形.
    
②(I)设直线CD 向右平移n个单位(n>0)可使得 C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3+n·直线CD与直线y=x-1 交于点 M(3+n·2+n)，
又∵D 的坐标为(3，2).C坐标为(3.-2).
∴D通过向下平移 4个单位得到C.    
 ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
∴四边形 CDMN是平行四边形或四边形 CDNM是平行四边形.   
 ( i )当四边形 CDMN是平行四边边形，
∴M向下平移4个单位得 N.     
∴N坐标为 (3+n，n-2)，
 
解得：n₁ = 0(不合题意，舍去)，n₂=2 ；  
  ( ii )当四边形 CDNM是平行四边形.
∴M向上平移4个单位得 N. ∴N坐标为 (3+n，n+6)，  

 (Ⅱ)设直线CD向左平移n 个单位(n>0)可使得 C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.则直线CD的解析式为 x=3-n，直线CD与直线y=x-1交于点 M(3-n，2-n)，
又∵D的坐标为(3，2).C坐标为(3.-2)，·".D通过向下平移 4个单位得到C.   
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
∴四边形CDMN是平行四边形或四边形 CDNM是平行四边形.    
( i )当四边形 CDMN是平行四边形.∴M 向下平移4个单位得 N.     
∴N坐标为(3-n，-2-n)，

解得：n₁ = 0(不合题意，舍去)，n₂=-2(不合题意.舍去)；   
 ( ii )当四边形 CDNM是平行四边形.
∴M 向上平移4 个单位得 N。   
 ∴N坐标为(3-n，6-n)，


  综上所述，直线CD 向右平移 2 或(1+)个单位或向左平移 (-1+)个单位. 可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.