题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，在平行四边形ABCD中，AD=8cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD。
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒2cm的速度匀速运动，在BC上以每秒4cm的速度匀速运动过Q作直线QN，使QN∥PM设点Q运动的时间为x秒（0≤x≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为ycm²，
①求y关于x的函数关系式；
②求y的最大值。

答案

解：（1）当点P运动2秒时，AP=4cm，由∠A=60°，知AE=2，PE=2，∴S_ΔAPE=；
（2）①当0≤x≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=2x，AF=x，QF=x，AP=2x+4，AG=2+x，PG=2+x，
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为y=2x+x；
当6≤x≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=2x，AF=x，DF=8-x，QF=x，BP=2x-12，CP=20-2x，PG=(20-2x)，而BD=8，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为y=-；
当8≤x≤10时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=40-24x，QF=（40-4x），CP=20-2x，PG=(20-2x)，
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为y=，
故y关于x的函数关系式为y=；
②当0≤x≤6时，y的最大值为14；
当6≤x≤8时，y的最大值为24；
当8≤x≤10时，y的最大值为24；
所以当x=8时，y有最大值为24。