题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动，过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S。
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0），
把A（1，1），B（3，1）代入上式得：
，
解得，
∴所求抛物线解析式为；（2）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S_△OPQ，
过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），
∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos 45°=t，
∴；
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，
则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S_梯形OAGP，
∴AG=FH=t-2，
∴；
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}，
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN，
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴
∴
;

图1

图2

图3

（3）存在t₁=1，t₂=2。