题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，垂足为点D。点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P从点B开始沿BC边向点C运动，速度为1cm/s，点Q从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）。
（1）当x为何值时，将△PCQ沿直线PQ翻折180°，使C点落到C′点，得到的四边形CQC′P是菱形；
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜2.5时，求y与x的函数关系式；
（3）当0＜x＜2.5时，是否存在x，使得△PDM与△MDQ的面积比为5∶3，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）PC=6-x，CQ=2x，
要使四边形CQC′P是菱形，则PC=CQ，
即6-x=2x得x=2，
∴当x=2时，四边形CQC′P是菱形；
（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，
∴AD==4（cm），
∵QE∥AD，
∴△QEC∽△ADC，
∴即，
∴QE=x，
又∵PD=3-x，
∴，
即；
（3）存在，理由如下过点Q作QF⊥AD，垂足为F，
∵，
∴PD∶QF=5∶3，
在Rt△QEC中，
，QF=DE=3-
（也可由Rt△AEQ Rt△ADC，求得QF）
∴，解得x=2，
∴当x=2时，。