题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：
（1）用含a的代数式表示出C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，当a＜0时，能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？

答案

解：（1）设抛物线的解析式为
则=a（x-1）²-4a
则点D的坐标为
点C的坐标为。（2）过点D作DE⊥y轴于E，如图①所示：
则有△DEC∽△COB
∴
∴
∴a²=1，a=±1
抛物线的解析式为y=x²-2x-3或y=-x²+2x+3。（3）a＜0时，a=-1，抛物线y=-x²+2x+3，
这时可以找到点Q，很明显，点C即在抛物线上，
又在⊙G上，∠BCD=90°，这时Q与C点重合，点Q坐标为Q（0，3）
如图②，若∠DBQ为90°，作QF⊥y轴于F，DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BFQ
有
则点Q坐标（k，-k²+2k+3）
即
化简为2k²-3k-9=0
即（k-3）（2k+3）=0
解之为k=3或k=
由k=得Q坐标：如图③，延长DQ交y轴于M，作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H
可证明△DEM∽△DHB
即
则
得
点M的坐标为
DM所在的直线方程为
则与y=-x²+2x+3的解为
得交点坐标Q为
即满足题意的Q点有三个：（0，3），。