题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

已知：如图，A（0，1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C。
（1）当B点的横坐标为时，求线段AC的长；
（2）当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；
（3）设过点P（0，-1）的直线l与（2）中所求函数的图象有两个公共点M₁（x₁，y₁）、M₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，求直线l的解析式。

答案

解：（1）在Rt△AOB中，可求得AB=，
∵∠OAB=∠BAC，∠AOB=∠ABC=Rt∠ ，
∴△ABO∽△ABC，
∴，
由此可求得：AC=；
（2）当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC=AD，
∵AO⊥OB，AB⊥BD，
∴△ABO∽△BDO，则OB2=AO×OD----6′，
即，化简得：y=，
当O、B、C三点重合时，y=x=0，
∴y与x的函数关系式为：y=-；
（3）设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，
消去y得：x²-4kx-4b=0，则有，
由题设知：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，即（4k）²+8b-24k=8，且b=-1，则16k²-24k-16=0，
解之得：k₁=2，k₂=，
当k₁=2、b=-1时，△=16k²+16b=64-16>0，符合题意；
当k₂=，b=-1时，△=16k²+16b=4-16<0，不合题意（舍去），
∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1。