题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别与x轴，y轴交于点A，点B。

（1）以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆⊙M（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若⊙M与x轴的另一个交点为点D，求A，B，C，D四点的坐标；
（3）求经过A，B，D三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹；
（2）由直线y=-x+1，求得点A的坐标为（，0），
点B的坐标为（0，1），
∴在Rt△AOB中，OA=，OB=1，
∴AB=2，tan∠OBA=，
∴∠OBA=60°，
∴∠OAB=90°-∠OBA=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=AB=2，∠CAB=60°，
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°，
∴点C的坐标为（，2），
连接BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBA=∠ABC=30°，
∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90°，
∴OB⊥BM，
∴直线OB是⊙M的切线，
∴OB²=OD·OA，
∴，
∴OD=，
∴点D的坐标为（，0）；
（3）设经过A，B，D三点的抛物线的解析式
是，
把B（0，1）代入上式得a=1，
∴抛物线的解析式是存在点P，
使△ADP的面积等于△ADC的面积，
点P的坐标分别为。