题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）将A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)
代入抛物线y＝ax²+bx+c中，
得：，解得：
∴抛物线的解析式：y＝﹣x²+2x+3；
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B(3，0)，C(0，3)代入上式，
得：，解得：
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x=1时，y＝2，即P的坐标(1，2)；
（3）抛物线的解析式为：x＝﹣＝1，
设M(1，m)，已知A(﹣1，0)、C(0，3)，
则：MA²＝m²+4，MC²＝m²﹣6m+10，AC²＝10；
①若MA＝MC，则MA²＝MC²，
得：m²+4＝m²﹣6m+10，
得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA²＝AC²，
得：m²+4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC²＝AC²，
得：m²﹣6m+10＝10，
得：m＝0，m＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，
不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点存在，
且坐标为 M(1，)(1，﹣)(1，1)(1，0)．