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题目
题型:山东省中考真题难度:来源:

如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为
(1,0).若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;
(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.



答案
解:(1)如答图1,连接OB.
∵BC=2,OC=1,
∴OB==
∴B(0,),
将A(3,0),B(0,)代入二次函数的表达式得,解得
∴y=﹣x2+x+
(2)存在.如答图2,
作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P.
∵B(0,),O(0,0),
∴直线l的表达式为y=.代入抛物线的表达式,
得﹣x2+x+=
解得x=1±
∴P(1±);
(3)如答图3,作MH⊥x轴于点H.
设M(xm,ym),
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB
=(MH+OB)·OH+HA·MH﹣OA·OB
=(ym+)xm+(3﹣xm)ym×3×
=xm+ym
∵ym=﹣xm2+xm+
∴S△MAB=xm+(﹣xm2+xm+)﹣
=xm2+xm
=(xm2+
∴当xm=时,S△MAB取得最大值,最大值为  

 

核心考点
试题【如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.(1)求抛物线的解析式;(】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=,将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°,得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2
(1)求抛物线的解析式.
(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大?求出这时点P的坐标.
(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C,动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动,点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒,过点P作PE⊥AB交AC于点E。
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值。
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问题背景
若矩形的周长为1 ,则可求出该矩形面积的最大值. 我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为:(x﹥0),利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值。
提出新问题
若矩形的面积为1 ,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?
分析问题
若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:(x﹥0),问题就转化为研究该函数的最大(小)值了。
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数(x﹥0)的最大(小)值。
(1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数(x﹥0)的图象:
(2 )观察猜想:观察该函数的图象,猜想当x=         时,函数(x﹥0)有最    (填“大”或“小”)是            
(3)推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数(x﹥0)的最大值,请你尝试通过配方求函数(x﹥0)的最大(小)值,以证明你的猜想。〔提示:当x>0时,x=
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如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A,C,D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=
(1)求过A,C,D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A.E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.
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