题目
题型:天津期末题难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,设抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M,直线y=﹣2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移后抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的取值范围;
(3)如图2,将抛物线y=ax2+bx+3平移,平移后抛物线与x轴交于点E、F,与y轴交于点N,当E(﹣1,0)、F(5,0)时,在抛物线上是否存在点G,使△GFN中FN边上的高为?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.
(2)由(1)配方得y=(x+2)2﹣1,
∴抛物线的顶点坐标为M(﹣2,﹣1),
∴直线OD的解析式为y=x,
于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为(h,h),
∴平移后的抛物线的解析式为y=(x﹣h)2+h,
当抛物线经过点C时,
∴C(0,9),
∴h2+h=9.
解得h=,
∴当≤h≤时,
平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点;
当抛物线与直线CD只有一个公共点时,
由方程组,得x2+(﹣2h+2)x+h2+h﹣9=0,
∴△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+h﹣9)=0,解得h=4,
此时抛物线y=(x﹣4)2+2与直线CD唯一的公共点为(3,3),点(3,3)在射线CD上,符合题意.
∴平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的取值范围是或h=4.
(3)平移后,当E(﹣1,0)、F(5,0)时,
抛物线的解析式为:y=(x+1)(x﹣5),
即y=x2﹣4x﹣5.
当x=0时,y=﹣5.
∴N(0,﹣5).
∴OF=ON=5,假设存在点G,使△GFN中FN边上的高为7,
∴G点应在与直线FN平行,且相距7的两条平行线l1(如图所示)和l2(在直线FN下方且平行于直线FN)上.由平行的性质可以知道l1和l2与y轴的交点到直线FN的距离也为7,如图,设l1与y轴交于点P,过点P作PQ⊥FN,垂足为Q,
∵OF=ON,
∴∠ONF=OFN=45°.
在Rt△PQN中,PQ=7,∠PNQ=∠ONF=45°,
由勾股定理,得PN=PQ=14.
∴直线l1与y轴的交点坐标为P(0,9).
同理可得:直线l2与y轴的交点坐标为R(0,﹣19).
∵OF=ON=5,
∴F(5,0),N(0,﹣5),
∴容易求得直线FN的解析式为:y=x﹣5.
∴直线l1、l2的解析式分别为l1:y=x+9;l2:y=x﹣19.
根据题意,列方程组:①,,
由①,得x2﹣5x﹣14=0,
解得x1=7,x2=﹣2
∴,.
∴G1(7,16),G2(﹣2,7).
由②,得x2﹣5x+14=0.
∵△=(﹣5)2﹣4×1×14<0,此方程无实数根.
∴在抛物线上存在点G,使△GFN中FN边上的高为7.
点G的坐标为:G1(7,16),G2(﹣2,7).
核心考点
试题【抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,设抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M,直线y=﹣2】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值?若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
(1 )求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少?
(2 )由于受国际金融危机的影响,今年1 ,2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12 月份下降了m% ,且每月的销售量都比去年12 月份下降了1.5m% .国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13% 给予财政补贴.受此政策的影响,今年3 至5 月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2 月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2 月份增加了1.5 万台.若今年3 至5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936 万元,求m 的值(保留一位小数).(参考数据: ≈5.831,≈5.916,≈6.083,≈6.164)
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