题目

题型：山东省期末题难度：来源：

如图：抛物线经过A（﹣3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=﹣）

答案

解：（1）设抛物线的解析式为：
y=a（x+3）（x﹣4），
∵B（0，4）在抛物线上，
∴4=a（0+3）（0﹣4），
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为：
y=﹣（x+3）（x﹣4），
即y=﹣x²+x+4；
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
AB===5，
∴AD=AB=5，
AC=AO+CO=3+4=7，
CD=AC﹣AD=7﹣5=2，
∵BD垂直平分PQ，
∴PD=QD，PQ⊥BD，
∴∠PDB=∠QDB
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
∴DQ∥AB，
∴∠CQD=∠CBA．∠CDQ=∠CAB，
∴△CDQ∽△CAB，
∴，
即=，DQ=，
∴AP=AD﹣DP=AD﹣DQ=5﹣=，
t=÷1=，
∴t的值是；
（3）对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小．理由如下：
∵抛物线的对称轴为x=﹣=，
∴A（﹣3，0），C（4，0）两点关于直线x=对称，连接AQ交直线x=于点M，
则MQ+MC的值最小．
过点Q作QE⊥x轴于E，
∴∠QED=∠BOA=90°，
∵DQ∥AB，
∴∠BAO=∠QDE，
∴△DQE∽△ABO，
∴，
即==，
∴QE=，DE=，
∴OE=OD+DE=2+=，
∴Q（，），
设直线AQ的解析式为y=kx+m（k≠0）
则，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y=x+．
联立，
解得：，
∴M（，），
∴在对称轴上存在点M（，），使MQ+MC的值最小．