题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线与轴交于点A（，0），
（1）直接写出抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
（2）若直线过抛物线顶点M及抛物线与轴的交点(0，3)．
① 求直线MC所对应的函数关系式；
② 若直线MC与轴的交点为，在抛物线上是否存在点，使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

（1）B（1，0）（2）①②，），，），

解析

解：（1）B（1，0）................(3分)
（2）①∵点B（1，0），C（0，3）在抛物线上，抛物线与轴交于点C（0，3）.
∴ 解得∴抛物线所对应的函数关系式为.....(5分)
∴M（，4）设直线MC所对应的函数关系式为，
∴，解得，∴直线MC所对应的函数关系式为．....(7分)
②假设在抛物线上存在异于点C的点P，使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形．
 
①若PN为△NPC的另一条直角边，如图1．
易得直线MC与x轴的交点坐标为N（3，0）．
∵OC=ON，，∴，
在轴上取点D（0，），连结ND交抛物线于点P．
∵ON=OD，∴．∴．
设直线ND的函数表达式为．
可得，解得  
∴直线ND的函数表达式为．....(9分)
设点P（x，），并将它代入抛物线的函数表达式，得
即．解得，
∴， 
∴满足条件的点为，），....(10分)
，）． 
②若PC是另一条直角边，如图2．

∵点A是抛物线与x轴的另一交点，
∴点A的坐标为（，0）．
连结AC．∵OA=OC，∴．又，
∴，∴点A就是所求的点（，0）．   ....(12分)
[或：求出直线AC的函数表达式为．设点P（x，），代入抛物线 的函数表达式，得，即．解得，． ∴，，∴点，，，（舍去）．]
综上可知，在抛物线上存在满足条件的点有3个，分别，），，），．....(13分)
（1）根据已知抛物线的解析式，可得到抛物线的对称轴方程，从而根据A点坐标求出点B的坐标．
（2）根据A、B、C三点坐标，即可求得抛物线的解析式和它的顶点坐标；
①已经求得M、C的坐标，利用待定系数法求解即可；
②假设存在符合条件的P点，分两种情况考虑：
1）以N为直角顶点，即PN为另一条直角边；
易求得点N的坐标，根据C、N点的坐标可知∠CNO=45°，若∠PNC=90°，可在y轴截取OD=ON，易得点D的坐标，即可求出直线DN的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；
2）以C为直角顶点，即PC为另一条直角边；
根据A、C的纵坐标知：∠CAN=45°，此时∠ACN=90°，那么点A即为所求的P点；
综合上述两种情况，即可得到符合条件的P点坐标．