题目

题型：不详难度：来源：

如图1，点A为抛物线C₁：的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C₁于另一点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x＝a
交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；
(3)如图2，将抛物线C₁向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴
于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

图1                             图2

答案

解：（1）∵当x=0时，y＝－2。∴A（0，－2）。
设直线AB的解析式为，则，解得。
∴直线AB的解析式为。
∵点C是直线AB与抛物线C₁的交点，
∴，解得（舍去）。
∴C（4，6）。
（2）∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，

∴，∴DE=。
∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。
∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C₁于点G，
∴。
∴FG=。
解得。
（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H。

设点M的坐标为（t,0），抛物线C₂的解析式为。
∴。∴。
∴。∴P（0，）。
∵点N是直线AB与抛物线C₂的交点，
∴，解得（舍去）。
∴N（）。
∴NQ=，MQ=。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=45⁰。
∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。
∴OT=－t，。
∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。
∴，解得（舍去）。
∴。∴。

解析

二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。
（1）由点A在抛物线C₁上求得点A的坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C₁即可求得点C的坐标。
（2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，即可得等式
FG=，解之即可得a的值。
（3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C₂的解析式，求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值。