题目

题型：不详难度：来源：

已知：直角梯形中，∥，∠=，以为直径的圆交于点、，连结、、.
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形中，以为坐标原点，在轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点、、，且为抛物线的顶点.
①写出顶点的坐标（用含的代数式表示）___________；
②求抛物线的解析式；
③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点，过点作⊥轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

答案

（1）△∽△，△∽△.……………4分
（2）①（1，）…………………………………………1分
②抛物线的解析式为：………………3分
③当时，点为（，）、（，）………………2分
当时，两个点不存在          …………………………………2分

解析

（1）由圆周角定理知：∠ADB=90°，首先可联想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一对相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；
（2）①用公式法或配方法均能求出顶点B的坐标；
②根据抛物线的解析式，易求得B、D、A的坐标，也就得到了OA、OD、CD、BC的长，根据（1）得出的相似三角形，即可根据对应的成比例线段求出a的值，也就能求出抛物线的解析式；
③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN与△OAD相似，则△PAN也必须是等腰Rt△；可根据抛物线的解析式设出P点坐标，然后根据PN=AN的条件来求出P点的坐标