题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y＝(x＋1)²＋k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0，－3)．

（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；
（4）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，直接写出出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）x＝－1，k＝－4（2）P (－1，－2) （3）当x＝－ 时，S最大，最大值为（4）（4）存在，点F的坐标为（3,12）、（-5,12）、（-1，-4）

解析

（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，………………………………1分
把C (0，－3)代入y＝(x＋1)²＋k得
－3＝1＋k ∴k＝－4…………………………………………3分
（2）连结AC，交对称轴于点P
∵y＝(x＋1)²－4  令y＝0  可得(x＋1)²－4＝0
∴x₁＝1  x₂＝－3
∴A (－3，0)  B (1，0)…………………………………………5分
设直线AC的关系式为：y＝m x＋b
把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得b＝－3，m＝－1
∴直线AC的关系式为y＝－x－3……………………………………6分
当x＝－1时，y＝1－3＝－2
∴P (－1，－2)…………………………………………………………7分
（3）过M作x轴的垂线交于点E，连接OM，设M点坐标为（x，(x＋1)²－4）
S_{四边形AMCB}＝S_△AMO＋S_△CMO＋S_△CBO＝×AB×|y_m|＋×CO×|x_m|＋×OC×BO
＝6－ (x＋1)²＋×3×(－x)＋×3×1
＝－x²－ x＋6＝－（x²＋3x－9）＝－（x＋）²+……9分
当x＝－ 时，S最大，最大值为………………………………10分
（4）存在，点F的坐标为（3,12）、（-5,12）、（-1，-4）…………12分
(1)根据抛物线的图象性质得出对称轴，把C点坐标代入抛物线函数中得出k值；
（2）先求出AC直线的解析式，然后求它与抛物线的对称轴的交点即是PA+PC最小值时的P点坐标；
（3）利用S_{四边形AMCB}＝S_△AMO＋S_△CMO＋S_△CBO列出一抛物线的解析式，然后利用抛物线的图象性质得出AMCB的最大面积及此时点M的坐标；
（4）分三种情况讨论得出结论。