题目

题型：不详难度：来源：

已知：抛物线y=x+bx+c的顶点D在直线y=-4x上，且与x轴的交点A(-1,0),B,交y轴于点C，顶点为D. 

(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标. 
(2)试判断点C与以BD为直径的⊙M的位置关系.
(3)若点P的坐标是（a,0）,是否存在a，使得直线PC是⊙M的切线？若存在，求出a的值,若不存在，请说明理由.

答案

(1) y=x-2x-3,顶点D(1,-4) (2) 点C在⊙M上(3) 存在，-3/2

解析

⑴y=x-2x-3,顶点D(1,-4),
⑵∵抛物线y=x-2x-3与x轴的校点为B(3,0)
∴BD中点M为（2，-2），
∵BD=,CM=,
∴BD="2CM" ,
∴点C在⊙M上。
⑶存在。
过点M作MN⊥y轴于N点，
则MN=2,NC=1.
当PC与⊙M相切时，
∠MCP=∠COB=90°，
又∠AQC=∠CQP，
∴△QAC∽△QCP
∴∠CPO=∠MCO,
∴tan∠MCO=,tan∠CPO=,
∴OP=
(1)首先求出抛物线的项点表达式，并把它代入直线方程中，然后把A点坐标代抛物线方程中，联立解出b、c的值，从而得出抛物线的解析式，再求出抛物线与直线的交点D的坐标；
（2）先求出BD和CM的值，然后根据BD="2CM" ,得出点C在⊙M上；
（3）存在.过点M作MN⊥y轴于N点，由PC与⊙M相切，得出△QAC∽△QCP，得出∠CPO=∠MCO，从而求OP的长度，得出a的值。