题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄…=A_2n-1A_2n=1，过A₁、A₃、A₅…A_2n-1分别作x轴的垂线与反比例函数y=

2

x

的图象交于点B₁、B₃、B₅…B_2n-1，与反比例函数y=

4

x

的图象交于点C₁、C₃、C₅、…C_2n-1，并设△OB₁C₁与△B₁C₁A₂合并成的四边形的面积为S₁，△A₂B₂C₃与△B₂C₃A₄合并成的四边形的面积为S₂…，以此类推，△A_2n-2B_nC_n与△B_nC_nA_2n合并成的四边形的面积为S_n，则S₁=______；

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

=______．（n为正整数）．

答案

∵在x轴的正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄…=A_2n-1A_2n=1，过A₁、A₃、A₅…A_2n-1分别作x轴的垂线与反比例函数y=

2

x

的图象交于点B₁、B₃、B₅…B_2n-1，与反比例函数y=

4

x

的图象交于点C₁、C₃、C₅、…C_2n-1，
∴OA₁•B₁A₁=2，OA₁•C₁A₁=4，
∴△OB₁C₁与△B₁C₁A₂合并成的四边形的面积为S₁=

1

2

×2OA₁•C₁A₁-

1

2

×2OA₁•B₁A₁=2，
同理可得出：OA₃•C₃A₃=4，OA₃•B₃A₃=2，
∴C₃A₃=

4

3

，B₃A₃=

2

3

，
∴△A₂B₂C₃与△B₂C₃A₄合并成的四边形的面积为S₂=

1

2

×2A₂A₃•C₃A₃-

1

2

×2A₂A₃•B₃A₃=

2

3

，
可得出：S₃=

2

5

，
∴S_n=

2

2n-1

，
∴

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

=

1

2

+

3

2

+

5

2

+…+

2n-1

2

=

1+3+5+…+(2n-1)

2

=

n2

2

（n为正整数）．
故答案为：2，

n2

2

．