题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

对任意的自然数n，证明A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ能被1897整除．

答案

证明：1897=7×271，7与271互质．
因为2903≡5（mod7），
803≡5（mod7），
464≡2（mod7），
261≡2（mod7），
所以
A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ
≡5n-5n-2n+2n=0（mod7），
故7|A．又因为
2903≡193（mod271），
803≡261（mod271），
464≡193（mod271），
所以
A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ，
≡193ⁿ-261ⁿ-193ⁿ+261ⁿ，
=0（mod271），
故271|A．因（7，271）=1，
所以1897整除A．
即A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ能被1897整除．