题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

在1、0交替出现且以1打头和结尾的所有整数（101，10101，10101…）中有多少个质数？为什么？并求出所有质数．

答案

为便于表示，设X（n）=1010…101，其中0的个数等于n．即X（1）=101，X（2）=10101，等等．
再设Y（n）=111…1，其中1的个数等于n．即Y（1）=1，Y（2）=11，Y（4）=1111，等等
易得X（n）×11=Y（2n+2）
现分奇偶讨论，当n为大于1的奇数时，设n=2k+1，则X（n）×11=Y（2n+2）=Y（4k+4）
此时有1111|Y（4k+4）成立，可设1111m=Y（4k+4），
则1111m=X（n）×11，X（n）=101m，由于n＞1时，m＞1，因此X（n）为合数．
当n为偶数时，X（n）×11=Y（2n+2），由于Y（n+1）|Y（2n+2），可设Y（n+1）×m=Y（2n+2）
由于n+1是奇数，所以Y（n+1）≡1（mod 11），即11不整除Y（n+1），而11又是Y（2n+2）的因数，所以必有11|m，设m=11p
则有X（n）×11=Y（2n+2）=Y（n+1）×11p，即X（n）=Y（n+1）×p，X（n）为合数．
综上，只有101是这样的数中的唯一的质数．