题目

已知无限小数0.199985……,从小数点后第五位开始,每一位数字均是前面四位上数字之和的个位数字.
（1）问这个小数中是否会出现连续四位数字依次为2001的?
（2）求证：这个小数必为有理数.

提问时间：2021-04-01

答案

简单说明一下：
1.不会出现2001.
小数点后最开头的4个数码1、9、9、9是4个奇数,和为偶数,下一位是偶数8,再下一位是3奇一偶之和为奇数,再下一位还是3奇一偶之和为奇数,再下一位仍是3奇一偶之和为奇数,接着一个仍是如此得奇数,到此得到了连续4个奇数,再往下一位就是偶数了,如此循环下去.连续的4个数一定是3奇一偶或者4个奇数,而2001是3偶一奇故不可能出现.
2.只需说明这个数是循环小数即可(纯循环还是混循环无所谓).
将小数点后的数码每连续4个一组分段,这些分段形成的4位数最多有10000种不同取值,即0000~9999(其实远不到这么多,就像2001之类的不会出现),那么第10001段必和前面的某一段完全相同,至此之后就开始循环重复,因此这个小数必是循环小数.