题目

在平面直角坐标系中,设二次函数f(x)=x^2+4x+b（b是实数）的图象与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆C
(1)求实数b的取值范围?
（2）求圆C的方程?
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）请证明你的结论?

提问时间：2021-03-21

答案

原题：y=x²+2x+b因为数字变了,不知道最后一问会不会出来结果
思路就是这样
（1）b=0时候,f(x)=x²+2x
此时与坐标轴交点（0,0）（0,-2）不合题意,所以b不等于0
令y=0
x²+2x+b=0
判别式=4-4b>0
b<1
所以b<0或0(2)设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
解方程x²+2x+b=0
x=-1+√(1-b),-1-√(1-b)
将（-1+√(1-b),0）和（-1-√(1-b),0）（0,b）代入圆C方程
解出D=2
E=-(b+1)
F=b
圆C：x²+y²+2x-(b+1)y+b=0
(3)设圆过定点（x0,y0）
x0²+y0²+2x0-(b+1)y0+b=0
x0²+y0²+2x0-y0+b(1-y0)=0
该方程若成立
则1-y0=0(1)
x0²+y0²+2x0-y0=0(2)
解得
x0=0
y0=1
或
x0=-2
y0=1
定点（0,1）（-2,1）
参考