题目

题型：不详难度：来源：

如图甲所示，两平行金属板间距为2l，极板长度为4l，两极板间加上如图乙所示的交变电压（t=0时上极板带正电）．以极板间的中心线OO₁为x轴建立坐标系，现在平行板左侧入口正中部有宽度为l的电子束以平行于x轴的初速度v₀从t=0时不停地射入两板间．已知电子都能从右侧两板间射出，射出方向都与x轴平行，且有电子射出的区域宽度为2l．电子质量为m，电荷量为e，忽略电子之间的相互作用力．
（1）求交变电压的周期T和电压U₀的大小；
（2）在电场区域外加垂直纸面的有界匀强磁场，可使所有电子经过有界匀强磁场均能会聚于（6l，0）点，求所加磁场磁感应强度B的最大值和最小值；
（3）求从O点射入的电子刚出极板时的侧向位移．

答案

（1）电子在电场中水平方向做匀速直线运动，
则：4l=v₀nT，解得：T=

4l

nv0

（n=1，2，3…），
电子在电场中运动最大侧向位移：

l

2

=2n•

1

2

a(

T

2

)2，由牛顿第二定律得：a=

eU0

2lm

，
解得：U0=

nm v 20

4e

（n=1，2，3…）；
（2）粒子运动轨迹如图所示：

由图示可知，最大区域圆半径满足：rm2=(2l)2+(rm-l)2，解得：r_m=2.5l，
对于带电粒子当轨迹半径等于磁场区域半径时，带电粒子将汇聚于一点，
由牛顿第二定律得：qv0Bmin=

m v 20

rm

，解得：Bmin=

2mv0

5el

，
最小区域圆半径为r_n=0.5l，
由牛顿第二定律得：qv0Bmax=

m v 20

rn

，解得：Bmax=

2mv0

el

；
（3）设时间为τ，

T

2

＞τ＞0，若t=kT+τ且(

T

2

＞τ＞0)时电子进入电场，
则：

y1=n[ 1 2 a( T 2 -τ)2•2- 1 2 aτ2•2]=n[ 1 4 aT2-aTτ]= (4k+1)l 2 - nv0t 2

，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…），
若t=(k+

1

2

)T+τ且(

T

2

＞τ＞0)进入电场
则：y2=-n[

1

4

aT2-aTτ]=

nv0

2

(t-kT-

1

2

T)-

l

2

=

nv0t

2

-

(4k+3)

2

l，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
或：若电子在t=kT+τ且(T＞τ＞

T

2

)进入电场时，出电场的总侧移为：

y2=n[- 1 2 a(T-τ)2•2+ 1 2 a(τ- T 2 )2] =n[- 3 4 aT2+aTτ]=- (4k+3) 2 l+ nv0t 2

，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
其他解法：若kT＜t＜kT+

T

2

，则
电子沿+y方向第一次加速的时间为

T

2

-(t-kT)
电子沿-y方向第一次加速的时间为t-kTy={

1

2

a[

T

2

-(t-kT)]2-

1

2

a(t-kT)2}•2n
解得：y=

4k+1

4

naT2-naTt，其中aT2=

2l

n

，aT=

1

2

v0，
∴y=

4k+1

2

l-

1

2

nv0t（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）
若kT+

T

2

＜t＜kT+T，则
电子沿-y方向第一次加速的时间为T-（t-kT）
电子沿+y方向第一次加速的时间为t-kT-

T

2

y={-

1

2

a[T-(t-kT)]2+

1

2

a(t-kT-

T

2

)2}•2n
解得：y=

4k+1

4

naT2-naTt，其中aT2=

2l

n

，aT=

1

2

v0，∴y=

1

2

nv0t-

4k+3

2

l（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
答：（1）交变电压的周期T=

4l

nv0

（n=1，2，3…），电压U0=

nm v 20

4e

（n=1，2，3…）；
（2）所加磁场磁感应强度B的最大值Bmax=

2mv0

el

；最小值Bmin=

2mv0

5el

；
（3）从O点射入的电子刚出极板时的侧向位移为

(4k+1)l

2

-

nv0t

2

其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…），或

nv0t

2

-

(4k+3)

2

l，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）．