题目

题型：0103 期末题难度：来源：

质量m＝1.0 kg的甲物体与竖直放置的轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，如图所示。质量m＝1.0 kg的乙物体从甲物体正上方，距离甲物体h＝0.40 m处自由落下，撞在甲物体上在极短的时间内与甲物体粘在一起（不再分离）向下运动，它们到达最低点后又向上运动，上升的最高点比甲物体初始位置高H＝0.10 m。已知弹簧的劲度系数k＝200 N/m，且弹簧始终在弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度g取10 m/s²。求：
（1）乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能；
（2）乙物体和甲物体碰撞后一起向下运动的最大距离。

答案

解：（1）设乙物体和甲物体碰撞前瞬间乙物体的速度大小为v₁
根据v₁²＝2gh，解得v₁＝2 m/s＝2.8 m/s
设乙物体和甲物体碰撞后的共同速度大小为v₂
由动量守恒定律有mv₁＝2mv₂，解得v₂＝v₁＝ m/s＝1.4 m/s
所以碰撞后系统的动能E_k2＝(2m)v₂²＝2 J
因为甲、乙物体构成的系统碰撞前的动能E_k1＝4 J，所以乙物体和甲物体碰撞过程中损失的机械能
ΔE＝E_k1－E_k2＝2 J
（2）设甲物体静止时弹簧压缩量为x₁，根据平衡条件
解得x₁＝＝5.0 cm
甲和乙碰撞后做简谐运动，在通过平衡位置时两物体所受合力为零，速度最大，设此时弹簧压缩量为x₂
解得x₂＝＝10 cm
甲物体和乙物体一同上升到最高点，两物体与简谐运动平衡位置的距离，即简谐运动的振幅
A＝x₂＋(H－x₁)＝15 cm
根据简谐运动的对称性可知，两物体向下运动的最大距离
x＝A＋(x₂－x₁)＝20 cm