题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，Q为一个原来静止在光滑水平面上的物体，质量为M，它带有一个凹形的不光滑轨道，轨道的ab段是水平的，bc段是半径为R的圆弧，位于竖直平面内。P是另一个小物体，质量为m，它与轨道间的动摩擦因数为μ。物体P以沿水平方向的初速度v₀冲上Q的轨道，已知它恰好能到达轨道顶端c点，后又沿轨道滑下，并最终在a点停止滑动，然后与Q一起在水平面上运动。

（1）分别求出P从a点滑到c点和从c点滑回a点的过程中各有多少机械能转化为内能？
（2）P位于轨道的哪个位置时，Q的速度达到最大？

答案

（1）mgR；（2）θ="arc" tanμ

解析

（1）当P在Q上滑行时，水平方向系统受合外力为零，故在水平方向系统动量守恒。当P到达c点时，P和Q具有共同的水平速度V。根据动量守恒定律，
mv₀ =" (m+M)" V                （1）
P由a点滑到c点的过程中，系统损失的机械能转化为内能，则根据功能关系
 （2）
由（1）、（2）两式得
                             ④
当P到达c点时，P和Q仍具有共同的水平速度V。所以在P由c点滑回到a点的过程中，有                
即                        Q_下=mgR              ②
(2)在P从a滑到c的过程中，P对Q的作用力都偏向右侧，因此Q受到向右的作用力，Q将一直加速，到达c点时P、Q间无相互作用；从c滑到b的过程中，P的受力分析示意图如右图所示，其中支持力N偏向左侧，摩擦力f偏向右侧。这个过程的前一阶段，P受到的合外力的水平分力向左，则Q受到合力的水平分力向右，Q将继续加速，当P在水平方向受力平衡的时刻，就是Q速度最大的时刻。                   ④
此时满足                    f cosθ=" N" sinθ
并且                         f = μN
因此得                       tanθ=μ
即P所在位置的半径与竖直方向的夹角为     θ="arc" tanμ。                       ④