题目

题型：宁德模拟难度：来源：

某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为：探测器在近火星表面轨道做圆周运动的周期是T；探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后，以v₀的初速度竖直反弹上升，经t时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用，且重力近似不变．已知万有引力常量为G，试求：
（1）火星的密度；
（2）火星的半径．

答案

（1）设火星的半径为R，则火星的质量为M，探测器质量为m，探测器绕火星表面飞行时，有：
G

mM

R2

=mR

4π2

T2

     ①
可得火星的质量M=

4π2R3

GT2

    ②
则根据密度的定义有：ρ=

M

V

=

4π2R3 GT2

4 3 πR3

=

3π

GT2

（2）探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有：
G

mM

R2

=mg′       ③
根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回抛出点的时间t=

2v0

g′

得火星表面的重力加速度
g′=

2v0

t

              ④
将②、④代入③得：R=

v0T2

2π2t

答：（1）火星的密度ρ=

3π

GT2

；
（2）火星的半径R=

v0T2

2π2t

．