题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，已知正方形OABC的边长为 2，点D为 CO的中点，抛物线经过点A，且顶点为 D，点P为抛物线上的动点，且横坐标为 m。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)过点P作直线EP平行于y轴，交BC所在直线于点E，连接OP，某数学小组在探究时发现：动点P到BC所在直线的距离PE始终等于OP，你认为正确吗？请说明理由。
(3)在(2)中，连接OE，当△OPE为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形时，分别求 m的取值范围。

答案

解：(1)由题意知点D的坐标为(0，1)， 故设该抛物线的解析式为 y = ax² +1，
将 A(2，0)代人，解得，∴该抛物线的解析式为y= 。  
(2)正确    
理由：由题可知，动点P的坐标为(m，)，
则OP ==
PE =即OP =PE，故该数学小组的结论是正确的。      
(3)当△OPE为直角三角形时，m =±2；
当△OPE为钝角三角形时，- 2<m<2且m≠0；
当△OPE为锐角三角形时，m< -2或m>2；
当△OPE为等边三角形时，x轴垂直平分EP，即，解得m =