题目

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【题文】（本题满分14分）已知函数,（其中）.
（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点,求的值,并直接写出函数的单调区间；
（Ⅱ）求方程在区间上实数解的个数.

答案

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别求出函数和的极值点，让其相等即可解决即或，注意分类讨论；（Ⅱ）注意到，令分三种情况进行讨论，在的情况较为复杂，当即或时,若,由于,三个点函数值正负已确定，易得原方程有唯一实数解；若时,由于,由于函数值正负情况不知，所以需分类讨论即当与最终才会获解
试题解析：（Ⅰ）,
则,                         1分
令,得或,而二次函数在处有极大值,所以或,
解得或；                                 4分
当时,的递增区间为,,递减区间为.            5分
当时,的递增区间为,递减区间为.        6分
（Ⅱ）
,                            8分
令,,
 当即时,无实根,故原方程的解为,满足题意,
即原方程有唯一实数解；                       9分
 当即或时,
若,则的实数解为,故原方程在区间上有唯一实数解；
若,则的实数解为,故原方程在区间上有两实数解,或；  10分
 当即或时,
若,由于,此时在区间上有一实数解,故原方程有唯一实数解；                          11分
若时,由于,
当即时,在区间上有唯一实数解,故原方程有一实数解；
若即时,在区间上无实数解,故原方程有无实数解； 13分
综上,当时,原方程在上无实数解；
当或时,原方程在上有唯一实数解；
当时,原方程在上有两不等实数解.                    14分
考点：导数及其综合应用