题目
题型:不详难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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2 |
2 |
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.
答案
(Ⅰ)根据题意可得
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可解得
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∴椭圆E的方程为
x2 |
3 |
y2 |
4 |
(Ⅱ)不妨设A1(0,2),A2(0,-2)
P(x0,4)为直线y=4上一点(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2)
直线PA1方程为y=
2 |
x0 |
6 |
x0 |
点M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组
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点N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满足方程组
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由于椭圆关于y轴对称,当动点P在直线y=4上运动时,直线MN通过的定点必在y轴上,
当x0=1时,直线MN的方程为y+1=
4 |
3 |
3 |
2 |
则直线BM的斜率kBM=
y1-1 |
x1 |
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9-
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6x0 |
直线BN的斜率kBN=
y2-1 |
x2 |
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9-
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6x0 |
∴kBM=kBN,即M,B,N三点共线,故直线MN通过一个定点B(0,1),
又∵F(0,-1),B(0,1)是椭圆E的焦点,
∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.
核心考点
试题【在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)经过点A(62,2),且点F(0,-1)为其一个焦点. (Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
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2 |
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F(E在B、F之间)且
BE |
BF |
(1)求曲线C的方程;
(2)求m的取值范围.
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2 |
AP |
PB |
(1)求椭圆C的方程;
(2)若
OA |
OB |
OP |
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2 |
6
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5 |
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求
EP |
QP |