题目
题型:陕西省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)证明:{an+1-an}为等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项;
(Ⅲ)若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立,求λ的最小值。
答案
(Ⅰ)证明:∵数列{an}中,,
当n≥2时,3an+1=4an-an-1(n∈N*),
∴当n≥2时,,
即,
所以,是以为首项,以为公比的等比数列。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,,
故
,
累加,得,
所以,。
(Ⅲ)解:若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立,
即在n∈N*时恒成立,
故需求在n∈N*上的最小值,
先证n∈N*时有,
显然,左边每个因式都是正数,先证明对每个n∈N*,有
,
用数学归纳法证明上式,
(ⅰ)n=1时,上式显然成立;
(ⅱ)假设n=k时,结论成立,
即,
则当n=k+1时,
即当n=k+1时,结论也成立;
故对一切n∈N*,
成立,
所以,
,
∵,
易知,
故,
而在n∈N*时恒成立且λ∈N*,
所以,λ的最小值为2。
核心考点
试题【已知数列{an}中,,当n≥2时,3an+1=4an-an-1(n∈N*), (Ⅰ)证明:{an+1-an}为等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项; (Ⅲ)若】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求g(x);
(Ⅱ)当x∈[2,6]时,恒有成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)当时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n+4的大小,并说明理由。
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
(1)证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(2)对于n≥6,已知,求证,m=1,2,3,…,n;
(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。
求证:|sin(α1+α2+…+αn)|<sinα1+sinα2+…+sinαn。
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