题目

题型：不详难度：来源：

设实数q满足|q|＜1,数列{a_n}满足：a₁=2,a₂≠0,a_n·a_n+1=－qⁿ,求a_n表达式，又如果S_2n＜3,求q的取值范围

答案

－1＜q＜0或0＜q＜

解析

∵a₁·a₂=－q,a₁=2,a₂≠0,
∴q≠0,a₂=－,
∵a_n·a_n+1=－qⁿ,a_n+1·a_n+2=－qⁿ⁺¹
两式相除，得,即a_n+2=q·a_n
于是，a₁=2,a₃=2·q,a₅=2·qⁿ…猜想：a_2n+1=－qⁿ(n=1,2,3,…)
综合①②，猜想通项公式为a_n=
下证：(1)当n=1,2时猜想成立
(2)设n=2k－1时，a_2k－1=2·q^k－1则n=2k+1时，由于a_2k+1=q·a_2k－1
∴a_2k+1=2·q^k即n=2k－1成立.
可推知n=2k+1也成立.
设n=2k时，a_2k=－q^k,则n=2k+2时，由于a_2k+2=q·a_2k,
所以a_2k+2=－q^k+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.
综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.
这样所求通项公式为a_n=
S_2n=(a₁+a₃…+a_2n－1)+(a₂+a₄+…+a_2n)
=2(1+q+q²+…+q^n-1)－ (q+q²+…+qⁿ)

由于|q|＜1,∴=
依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜