已知a，b，c，d是实数，用分析法证明：a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知a，b，c，d是实数，用分析法证明：

a2+b2

c2+d2

≥

(a+c)2+(b+d)2

．

答案

证明：要证原不等式成立，只要证(

a2+b2

c2+d2

)2≥(a+c)2+(b+d)2，
即证(

(a2+b2)(c2+d2)

≥ac+bd．
（1）若ac+bd≤0，上式已经成立，原不等式成立
（2）若ac+bd＞0，只要证（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
即证a²d²+b²c²≥2abcd，而此式成立，原不等式成立．
综上（1）（2），原不等式成立．

核心考点

试题【已知a，b，c，d是实数，用分析法证明：a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2．】；主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

设x，y，z∈R⁺，求证：

2x2

y+z

2y2

z+x

2z2

x+y

≥x+y+z．

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若xn=

1×2

2×3

+…+

n(n+1)

（n为正整数），
求证：不等式

n(n+1)

＜x n＜

(n+1)2

对一切正整数n恒成立．

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如图△ABC，D是△ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线．
求证：AB=CD．魔方格

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设{a_n}是等差数列，a_n＞0，公差d≠0，求证：

an+1

an+4

＜

an+2

an+3

．

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（1）已知a，b＞0，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）求证：

＜2

．

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