设x，y，z∈R+，求证：2x2y+z+2y2z+x+2z2x+y≥x+y+z． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设x，y，z∈R⁺，求证：

2x2

y+z

2y2

z+x

2z2

x+y

≥x+y+z．

答案

证明：∵x，y，z∈R⁺，
∴由基本不等式可得

2x2

y+z

≥ 2x①，

2y2

x+z

≥ 2y ②，

2z2

x+y

≥ 2z③．
把 ①②③相加可得

2x2

y+z

2y2

z+x

2z2

x+y

+ x + y + z≥2x+2y+2z，∴

2x2

y+z

2y2

z+x

2z2

x+y

≥ x + y + z成立．

核心考点

试题【设x，y，z∈R+，求证：2x2y+z+2y2z+x+2z2x+y≥x+y+z．】；主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

若xn=

1×2

2×3

+…+

n(n+1)

（n为正整数），
求证：不等式

n(n+1)

＜x n＜

(n+1)2

对一切正整数n恒成立．

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如图△ABC，D是△ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线．
求证：AB=CD．魔方格

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设{a_n}是等差数列，a_n＞0，公差d≠0，求证：

an+1

an+4

＜

an+2

an+3

．

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（1）已知a，b＞0，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）求证：

＜2

．

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（一）已知a，b，c∈R⁺，
①求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R⁺，
①求证：

≥

(x+y)2

a+b

．
②利用①的结论求

1-2x

(0＜x＜

)的最小值．

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