题目
题型:不详难度:来源:
求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
答案
解析
∴原不等式化为|-|<|a-b|.
∵|-|≥0,|a-b|≥0,
∴要证|-|<|a-b|成立,
只需证(-)2<(a-b)2.
即证1+a2+1+b2-2<a2-2ab+b2,
即证2+a2+b2-2<a2-2ab+b2.
只需证2+2ab<2,
即证1+ab<.
当1+ab<0时,∵>0,
∴不等式1+ab<成立.
从而原不等式成立.
当1+ab≥0时,要证1+ab<,
只需证(1+ab)2<()2,
即证1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2,即证2ab<a2+b2.
∵a≠b,∴不等式2ab<a2+b2成立.∴原不等式成立.
方法二 ∵|f(a)-f(b)|=|-|
==,
又∵|a+b|≤|a|+|b|=+<+,
∴<1.
∵a≠b,∴|a-b|>0.∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.
核心考点
举一反三
(1)若x+y+z=1,求证:++≤3;
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.
(1)(a+b+c)≥9;
(2)(a+b+c) ≥.
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