题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

已知A_n（a_n，b_n）（n∈N*）是曲线y=e^x上的点，a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：
，n=2，3，4，…
（Ⅰ）证明数列是常数数列；
（Ⅱ）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是单调递增数列；
（Ⅲ）证明当a∈M时，弦A_nA_n+1（n∈N*）的斜率随n单调递增。

答案

解：（Ⅰ）当n≥2时，由已知得，
因为， …………①
于是， …………②
由②-①得， …………③
于是， …………④
由④-③得， …………⑤
所以(n≥2)是常数列。
（Ⅱ）由①有，
由③有，
而⑤表明：数列分别是以a₂、a₃为首项，6为公差的等差数列，
所以，
数列是单调递增数列对任意的k∈N*成立

，
即所求a的取值集合是。
（Ⅲ）弦，
任取x₀，设函数，
记，
当上为增函数，
当上为减函数，
所以，从而f′（x）＞0，
所以f（x）在上都是增函数；
由（Ⅱ）知，当a∈M时，数列单调递增，
取；
取；
所以的斜率随n单调递增。