数列的概念
数列的概念
数列的函数理解:
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。
数列的一般形式可以写成简记为{an},项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence),项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。数列的各项都是正数的为正项数列;从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如:1,2,3,4,5,6,7;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如:8,7,6,5,4,3,2,1;从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);各项相等的数列叫做常数列(如:2,2,2,2,2,2,2,2,2)。
通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式(注:通项公式不唯一)。
递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列中项的总数为数列的项数。
特别地,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)。如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).并非所有的数列都能写出它的通项公式。
例如:π的不同近似值,根据精确的程度,可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…它没有通项公式。数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数。用符号{an}表示数列,只不过是“借用”集合的符号,它们之间有本质上的区别:1.集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺序排列,也就是必须是有序的。
已知{an}是递增的数列,且对于任意n∈N*,都有an=n2+λn成立,求实数λ的取值范围. 已知递增数列{an}的通项公式是an=n2+λn,则实数λ的取值范围是( )。 共有10项的数列{an}的通项an=,则该数列中最大项、最小项的情况是 [ ] A.最大项为a1,最小项为a10
B.最大项为a10,最小项为a1
C.最大项为a6,最小项为a5
D.最大项为a4,最小项为a3若{an}为递减数列,则{an}的通项公式可能为( )(填写序号)。
①an=-2n+1;②an=-n2+3n+1;③;④已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+2,若对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是 [ ]
A.k>0
B.k>-1
C.k>-2
D.k>-3已知数列{an}的前n 项和为Sn,点在直线上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=11,前9项和为153.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设cn=3(2an-11)(2bn-1),数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*.已知数列{an}的通项公式是,若对于n∈N+,都有a n+1>an成立,则实数k的取值范围是( ) 已知数列{ an}的通项公式是 an=,其中a、b均为正常数,那么 an与 an+1的大小关系是 [ ] A.an>an+1
B.an<an+1
C.an=an+1
D.与n的取值有关已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+ λn恒成立,则实数λ的取值范围是( ) 已知无穷数列{an}前n项和,则数列{an}的各项和为( )。 数列{an}满足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,…。
(Ⅰ)若数列{an}为常数列,求a1的值;
(Ⅱ)若a1=,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:数列{a2n}单调递减。下列叙述正确的是 [ ] A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列是递增数列已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:
,n=2,3,4,…
(Ⅰ)证明数列是常数数列;
(Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列;
(Ⅲ)证明当a∈M时,弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增。设Sn为数列{an}的前n项和(n=1,2,3,……)。按如下方式定义数列 {an}:a1=m(m∈N*),对任意k∈N*,k>1,设ak为满足0≤ak≤k-1的整数,且k整除Sk,
(Ⅰ)当m=9时,试给出{an}的前6项;
(Ⅱ)证明:k∈N*,有;
(Ⅲ)证明:对任意的m,数列{an} 必从某项起成为常数列。已知下列数列:
(1)2 000,2 004,2 008,2 012;
(2)0,;
(3)1,;
(4)1,;
(5)1,0, -1,…,sin,…;
(6)3,3,3,3,3,3
其中,有穷数列是( ),无穷数列是( ),递增数列是( ),递减数列是( ),常数列是( ),摆动数列是( ),周期数列是( )。(将合理的序号填在横线上)下列叙述中正确的个数为
①数列an=2是常数列;
②数列是摆动数列;
③数列是递增数列;
④若数列{an}是递增数列,则数列{an·an+1}也是递增数列;[ ] A.1
B.2
C.3
D.4
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