题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝（2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝，绿地面积为.
（1）写出关于的函数关系式，指出这个函数的定义域.
（2）当AE为何值时，绿地面积最大？

答案

（1）∴y＝－2x²＋（a＋2）x，0<x≤2
（2）当时，AE＝时，绿地面积取最大值；
当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4

解析

（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²，     
S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝（a－x）（2－x）。   
∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2a－x²－（a－x）（2－x）＝－2x²＋（a＋2）x。
由，得      
∴y＝－2x²＋（a＋2）x，0<x≤2  
（2）当，即时，则x＝时，y取最大值
当≥2，即a≥6时，y＝－2x²＋（a＋2）x，在0，2]上是增函数，
则x＝2时，y取最大值2a－4             
综上所述：当时，AE＝时，绿地面积取最大值；
当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4