在平面直角坐标系xOy中，设圆C：（x-1）2+（y-2）2=1在矩阵A=k00k (k＞0)对应的线性变换下得到曲线F所围图形的面积为4π，求k的值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，设圆C：（x-1）²+（y-2）²=1在矩阵A=

k	0
0	k

(k＞0)对应的线性变换下得到曲线F所围图形的面积为4π，求k的值．

答案

设点P（x，y），则点P在矩阵A=

k	0
0	k

(k＞0)对应的线性变换下得到P（x"，y"）
满足

x′
y′

x
y

kx
ky

，得

x′=kx

y′=ky

因此若点P（x，y）在圆C：（x-1）²+（y-2）²=1上，则
点P"（x"，y"）满足（

x′

-1）²+（

y′

-2）²=1上，即（x"-k）²+（y"-2k）²=k²
对应以C"（k，2k）为圆心，半径为k的圆，
得πk²=4，解之得k=2．

核心考点

试题【在平面直角坐标系xOy中，设圆C：（x-1）2+（y-2）2=1在矩阵A=k00k (k＞0)对应的线性变换下得到曲线F所围图形的面积为4π，求k的值．】；主要考察你对常见矩阵变换等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=|

x1	y1 1
x2	y2 1
x3	y3 1

|．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点F斜率为

的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P（3，0），试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．

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选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=

，并且M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．

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附加题：求矩阵A=

2	1
3	0

的特征值及对应的特征向量．

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已知二阶矩阵M满足：M

，M

，求M²．

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形如

a	b
c	d

的式子叫做二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算

a	b
c	d

•

ax+bx

cx+dy

．该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵

a	b
c	d

的作用下变换成点（ax+by，cx+dy）．
（1）设点M（-2，1）在

0	1
1	0

的作用下变换成点M′，求点M′的坐标；
（2）设数列{a_n} 的前n项和为S_n，且对任意正整数n，点A（S_n，n）在

0	1
1	0

的作用下变换成的点A′在函数f（x）=x²+x的图象上，求a_n的表达式；
（3）在（2）的条件下，设b_n为数列{1-

}的前n项的积，是否存在实数a使得不等式bn

an+1

＜a对一切n∈N^*都成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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