题目

题型：不详难度：来源：

设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a³+b³+c³≥3abc．

答案

证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a²≥b²≥c²，
由排序原理：顺序和≥反序和，得：
a³+b³≥a²b+b²a，b³+c³≥b²c+c²b，c³+a³≥a²c+c²a
三式相加得2（a³+b³+c³）≥a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）．
又a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca．
所以2（a³+b³+c³）≥6abc，
∴a³+b³+c³≥3abc．
当且仅当a=b=c时，等号成立．