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题目
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设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.
答案
证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2
由排序原理:顺序和≥反序和,得:
a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a
三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).
又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
所以2(a3+b3+c3)≥6abc,
∴a3+b3+c3≥3abc.
当且仅当a=b=c时,等号成立.
核心考点
试题【设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.】;主要考察你对排序不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明:
a1b1+a2b2+…+anbn
n
≤(
a1+a2+…+an
n
)•(
b1+b2+…+bn
n
).当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立.
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设a1,a2,…,an为实数,证明:
a1+a2+…+an
n


a21
+a22
+…+
a2n
n
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设a1,a2,…,an为正数,求证:
a21
a2
+
a22
a3
+…+
a2n-1
an
+
a2n
a1
≥a1+a2+…+an
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设a,b,c是正实数,求证:aabbcc≥(abc)
a+b+c
3
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若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是(  )
A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cz
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