题目

题型：不详难度：来源：

课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，c，d都是实数，且a²+b²=1，c²+d²=1，则|ac+bd|≤1．这就是著名的柯西（Cauchy．法国）不等式当n=2时的特例，即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等号当且仅当ad=bc时成立．
请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明．

答案

数学语言简洁地叙述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等号当且仅当ad=bc时成立；
中文语言简洁地叙述柯西不等式：
两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方．取等号的条件是两列数对应成比例．
二维形式的证明：（a²+b²）（c²+d²）（a，b，c，d∈R）=a²•c²+b²•d²+a²•d²+b² •c²
=a²•c²+2abcd+b²•d²+a²•d² -2abcd+b²•c²
=（ac+bd）²+（ad-bc）² 2≥（ac+bd） ²，
等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立．