若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥1n．（n≥2，n∈N） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

若a_i＞0（i=1，2，3，…，n），且a₁+a₂+…+a_n=1，证明：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

．（n≥2，n∈N）

答案

由柯西不等式（a₁+a₂+a₂+a₃+a₃+a₄+…+a_n+a₁）×(

a12

a1+a2

a22

a2+a3

+…+

an2

an +a1

)
≥（a₁+a₂+…+a_n）²=1．
即2(

a12

a1+a2

a22

a2+a3

+…+

an2

an +a1

)≥（a₁+a₂+…+a_n）²=1．
(

a12

a1+a2

a22

a2+a3

+…+

an2

an +a1

)≥

，
令a1=a2=…=a1=

，得a₁²+a₂²+…+a_n²≥

．（n≥2，n∈N）．

核心考点

试题【若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥1n．（n≥2，n∈N）】；主要考察你对柯西不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥

．

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选修4-5：不等式选讲
已知x、y、z∈R，且2x+3y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

题型：福建模拟难度：| 查看答案

（不等式选讲）若实数a，b，c满足a²+b²+c²=4，则3a+4b+5c的最大值为______．

题型：未央区三模难度：| 查看答案

不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，求x²+y²+z²的最小值．

题型：徐州三模难度：| 查看答案

已知实数x，y，z满足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=

，则z的取值范围是（　　）

A．0≤z≤

B．0＜z≤

C．0≤z≤2

D．0＜z≤1

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