题目

题型：太原模拟难度：来源：

在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为

x=4cosθ y=2sinθ

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ（ρ＞0）．
（Ⅰ）化曲线C₁、C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）设曲线C₁与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作曲线C₂的切线l，求切线l的方程．

答案

（Ⅰ）曲线C₁：

x2

16

+

y2

4

=1；曲线C₂：（x-1）²+（y+2）²=5；（3分）
曲线C₁为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；
曲线C₂为圆心为（1，-2），半径为

5

的圆（2分）
（Ⅱ）曲线C₁：

x2

16

+

y2

4

=1与x轴的交点坐标为（-4，0）和（4，0），因为m＞0，
所以点P的坐标为（4，0），（2分）
显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k（x-4），
由曲线C₂为圆心为（1，-2），半径为

5

的圆得

|k+2-4k|

k2+1

=

5

，
解得k=

3± 10

2

，所以切线l的方程为y=

3± 10

2

(x-4)（3分）